Bij opdracht 7 is de gedachte oplossing: de wet van Wien toepassen op de gegeven planckkromme.

Echter, het antwoord is ook met de wet van Stefan-Boltzmann te bepalen. Het betreft hier de ontvangen straling per m² oppervlak per mm golflengte. De integraal hiervan (het oppervlak onder de grafiek) is dus het totaal ontvangen stralingsvermogen per m². Een zwarte straler opgehangen in de ruimte, vrij van andere stralingsinvloeden is in thermisch evenwicht met het heelal en heeft dus de temperatuur van het heelal i.e. 2.7K. Omdat het een zwarte straler is én hij in thermisch evenwicht is, móet de ontvangen straling dus gelijk zijn aan de uitgezonden hoeveelheid straling.

Nu komt mijn punt. Als je de ontvangen hoeveelheid straling bepaalt (oppervlak) dan is dat ongeveer 1,6*10^-8 W/m². Dit is dus per definitie gelijk aan de uitgezonden hoeveelheid straling en met I=σT⁴ kom je dan op een bijbehorende temperatuur volgens Stefan-Boltzmann van ongeveer 0.73K. Dit is fysisch volledig correct, anders gezegd: de verticale schaal van het plaatje kan dus niet kloppen en is ongeveer 250 keer te laag. Een leerling mag er van uitgaan dat er een correcte figuur wordt weergegeven en dat betekent dat het antwoord rond de 0.73K bij gebruik van Stefan-Boltzmann goed gerekend moet worden. Graag deze methodiek, geheel fysisch correct maar met een ander eindantwoord ook goedkeuren.

Let op: argumenten als ‘de kwadratenwet’ zijn in deze situatie niet van toepassing. De straling komt namelijk vanaf alle kanten (en niet van een object met een bepaalde afmeting op een bepaalde afstand)

Ik vermoed dat ik de bron van de fout heb gevonden.

Ik ben op zoek gegaan naar andere plaatjes van het spectrum van de achtergrondstraling (van COBE, WMAP of Planck). Zo kwam ik bij hyperphysics deze tegen:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Astro/imgast/Cobe3k.gif

Spectrum genomen door COBE. En al is Planck vele malen gevoeliger, ook bij COBE zijn de meetfouten op de datapunten al kleiner dan de lijndikte van de grafiek. Kunnen we dus prima gebruiken hier.

Maar hé, die COBE-grafiek lijkt wel heel erg op onze figuur 7 uit het examen. Begint ook op 0,5 mm, loopt wat verder door (tot 10 mm i.p.v. 5 mm), en het allerbelangrijkste: de schaal op de verticale as is gelijk: 10^–8 W m^–2 mm^–1. De top ligt iets hoger (1,15 i.p.v. 1,05), maar grofweg is dit gewoon dezelfde grafiek...

... totdat je kijkt naar de schaal op de horizontale as. Die is helemaal niet lineair! Dan is het geen wonder dat de oppervlakte niet klopt.

Astronomen werken eigenlijk niet met golflengte. Zij werken liever met frequentie (in Hz) en nog liever met golfgetal (in cm^–1). Dus:

https://oer.physics.manchester.ac.uk/QM/Notes/jsmath/firas_spectrum.jpg

Intensiteit wordt vaak gemeten in Jansky, dan krijg je zoiets:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmic_microwave_background#/media/File:Cmbr.svg

Soms zie je plotjes met langs de horizontale as zowel frequentie/golfgetal (lineair) als golflengte (die dan dus niet lineair is). Merk op dat de frequentie fmax (waarbij de kromme piekt als je intensiteit uitzet tegen frequentie) niet simpelweg gelijk is aan c/λmax.

En dan zit er ook nog een sr^–1 tussendoor te spoken. Ik heb het allemaal niet exact uitgezocht, eerst maar eens die examens nagekeken zien te krijgen. Maar het zou mij niet verbazen als hier het probleem zit.

Nog even verder gepuzzeld.

Bij zowel de plot van Manchester als de plot van Wikipedia (zie boven) kom je voor de oppervlakte onder de grafiek, na omrekenen van de eenheden naar SI, uit op:

dI/dΩ = 1·10^–6 W m^–2 sr^–1

Vermenigvuldigen met π sr (straling komt van halve bolschil, alleen component loodrecht op eenheidsoppervlak telt) geeft:

I = 3·10^–6 W m^–2

Dit past via I = σT⁴ keurig bij een temperatuur van 2,7 K. De oppervlaktemethode klopt gewoon. En zoals eerder al gezegd: geen kwadratenwet van toepassing hier.

Als de oppervlaktemethode klopt voor f(ν)dν, moet hij ook kloppen voor f(λ)dλ. Dat het met de figuur in het examen mis gaat, kan alleen maar liggen aan een verkeerde schaal langs de verticale as in die figuur.

Ik zal morgenochtend melding maken bij het examenloket. Hopelijk is het nog op tijd om een aanvulling uit te doen gaan.

Dank, ik heb hem ingediend. Caroline

Gaaf werk allemaal, bedankt voor het uitzoeken van I = sigma T^4 !
Gaat een paar lln helpen... Benieuwd of er nog een aanvulling komt, inderdaad.

 

Voorstel voor puntenverdeling bij deze aanpak (tot nader order vanuit CvTE):

1p: inzicht dat oppervlakte onder de grafiek de totale intensiteit is

1p: gebruik van I = σT⁴

1p: completeren

Een collega heeft de oppervlakte met Coach nauwkeurig geteld. Er zijn 16,2 hokjes. Een marge van 1 hokje lijkt me redelijk. Dat geeft een T tussen 0,72 en 0,74 K.

Grappig trouwens: hokjes tellen lijkt veel onnauwkeuriger dan een piek aflezen, maar door die 4e macht wordt de relatieve fout op de temperatuur voor de oppervlaktemethode alsnog veel kleiner dan wanneer je werkt met Wien.

Aanvulling op het cv:

---

Opmerking

Als de kandidaat de oppervlakte onder de grafiek bepaalt en vervolgens met de wet van Stefan-Boltzmann de temperatuur berekent, maximaal 2 punten toekennen. Let op: door een fout in de verticale schaal van de figuur levert de methode via de wet van Stefan-Boltzman een andere numerieke waarde dan in het beoordelingsmodel staat.

Toelichting:

Voor een bepaling van de temperatuur met behulp van de wet van Stefan-Boltzmann is de complete Planck-kromme nodig. Daarom worden niet alle punten toegekend aan deze oplossingsmethode. Dit geldt ook als de kandidaat de grafiek heeft geëxtrapoleerd, omdat er dan sprake is van een schatting en niet van een bepaling.

---

Tja... Er ontbreekt inderdaad een klein stukje van de grafiek, tussen 0 en 0,5 mm. Dat valt waarschijnlijk binnen de foutmarge, maar strikt genomen gaat dit wel mis, ja.

Wat al een leerling alleen de oppervlakte onder de grafiek bepaald maar niet verder gaat met de Wet van Stefan Boltzmann. ik vind het onduidelijk voor welke stappen je bij deze  - niet helemaal goede methode - deelscores geeft. Maximaal 2 volgens de tweede anvulling op het correctiemodel, maar voor welke stappen geef je die?

Ik doe het zo:

1p: inzicht dat oppervlakte onder de grafiek overeenkomt met de intensiteit

1p: gebruik van I = σT⁴

1p: completeren

En dat completeerpunt krijg je dan per definitie niet, want het is geen bepaling maar een schatting.