Hier uw reactie.

Wat te doen met een leerling die verkeerd afrondt en van 0,549931·10^-9 m op 0,54 nm uitkomt (i.p.v. 0,55 nm)? Voor de consequente conclusie maakt het niet uit, maar het completeren van de berekening gaat niet helemaal goed (2e bolletje). Aan de andere kant hoeft er ook geen rekening gehouden te worden met significantie, dus als hij niet had afgerond...

Goed rekenen, lijkt me.

Mijns inziens is het correctievoorschrift fout.

In het correctievoorschrift wordt gesteld dat de de Broglie golflengte van dezelfde ordegrootte als of groter  dan de barriere dikte moet zijn. Maar gaat het niet eigenlijk om de indringdiepte van de golffunctie in de barriere? En helaas is de indringdiepte iets heel anders dan de golflengte.

In een eenvoudig 1-dimensionaal model van een deeltje/golfpakketje dat tegen een barriere aankomt, is de golflengte van het deeltje buiten de barriere h/wortel(2mE). De golflengte is dus kleiner als de energie toeneemt. Tegelijkertijd neemt bij grotere energie de tunnelkans toe, omdat de barriere effectief lager is. Met andere woorden: een grotere golflengte impliceert een kleinere tunnelkans. Daarmee is de redenering uit het CV fout. Nog een extra argument: in de limiet dat de deeltjesenergie naar 0 gaat, nadert de golflengte naar oneindig. Toch is de tunnelkans dan juist klein vergeleken met de tunnelkans van deeltjes met meer energie.

De indringdiepte is in een eenvoudig model gegeven door h/wortel(2m(Eb-E)), waarbij Eb de barriere hoogte is. De indringdiepte neemt dus wel toe als de energie van het deeltje toeneemt en dus wordt de tunnelkans groter bij grotere E.

vraag 9 lijkt een leg uit vraag maar het CV wil een berekening zien. Dat is inconsequent taalgebruik. Soms krijg je als kanditaat de hint 'bereken daartoe eerst.....' dat had ik hier wel zo netjes gevonden.

Wat te doen met lln die de waarden die ze invullen niet opschrijven (één zelf niet de formule), maar wel opschrijven lambda = 0,55 nm en dan de rest van het verhaal. Zonder juiste constanten waren ze niet op die 0,55 nm gekomen uiteraard. Voldoende voor de complete score?

Ik heb een leerling die wel lambda uitrekent, maar zijn antwoord in orde van grootte weergeeft; dus ook het opzoeken van de constanten. Dat lijkt me goed, want de waarde van lambda wordt niet specifiek gevraagd. Hij legt vervolgens de mogelijkheid uit voor tunnelen met de onzekerheidsrelatie van Heisenberg door dp te vervangen door h/lambda. Dat lijkt me ook goed, want dat geeft weer waar het deeltje zich kan bevinden. En dat strookt ook weer met a (dat vergelijkt hij overigens ook). Volgens mij voldoet hij gewoon aan de vraag, ondanks dat hij geen exacte waarden formuleert (dat wordt ook niet gevraagd) en het natuurkundig correct (maar 'alternatief') oplost. Ik zou dus de volledige score toekennen. Hebben jullie advies?

@ Lukey

"de golflengte van het deeltje buiten de barriere (is) h/wortel(2mE) ". Geldt dit niet juist voor de golflengte binnen de barrière? De energie in deze formule is volgens mij de kinetische energie van het deeltje. Voor een opgesloten deeltje geldt E_p,0 > E_k (E_p,0 is de potentiële energie buiten de barrière) en de kans op tunnelen is afhankelijk van het verschil tussen E_p,0 en E_k. Bij een grotere golflengte hoort een kleinere E_k en dus een groter verschil E_p,0 - E_k en dus een kleinere tunnelkans. Dit bevestigt wat jij schrijft. Toch zou volgens die redenering tunnelen alleen kunnen bij een golflengte die klein is t.o.v. de barrière en dat zou betekenen dat een grote (brede) barrière meer kans op tunnelen geeft. Dat kan niet kloppen, dus iets in onze redenering loopt spaak, maar ik ben er nog niet uit wat.

Wellicht heeft het er mee te maken dat zowel in de formule h/wortel(2mE) als in de formule uit de examenopgave ook de massa staat (op dezelfde positie) en dat E_k ook van die massa afhankelijk is, maar dat die tot nu toe in de redenering buiten beschouwing is gebleven. Wellicht is er een collega met meer quantum-inzicht die helderheid kan verschaffen.

Hoe dan ook: in sommige leerboeken staat explciet en zonder veel uitleg dat een grotere massa leidt tot een kleinere tunnelkans (wat terugkomt in vraag 10).

@ Dankers

Ik zal wat scherper definieren wat ik heb gedaan:

- buiten de barriere heb ik de potentiele energie 0 gesteld. E is daarmee de kinetische energie van het deeltje.

- binnen de barriere is de potentiele energie Eb. 

- de massa van het deeltje is m.

Neem een potentiaallandschap met 1 barriere en los de Schrodinger vergelijking op. Dan vind je voor de golflengte buiten de barriere h/wortel(2mE) en voor de indringdiepte in de barriere h/wortel(2m(Eb-E)). Met indringdiepte bedoel ik het volgende: de golffie is een afvallende exponent en bevat e^(-x/indringdiepte).

Vergelijk nu twee identieke deeltje die richting de barriere bewegen. De deeltjes hebben een verschillende kinetische energie, maar voor beide is de kinetische energie kleiner dan de potentiele energie in de barriere. Dan is voor het deeltje met grote energie:

- de tunnelkans groter dan voor het deeltje met kleine energie omdat de barriere effectief lager is. 

- de indringdiepte groter, omdat (Eb-E) kleiner is (zie de bovenstaande formule voor indringdiepte)

en

- de golflengte buiten de barriere kleiner. (zie bovenstaande formule voor energie).

Dus een relatief kleine golflengte geeft een relatief grote tunnelkans. Daarmee is de methode uit het CV fout. 

Je zou je nog kunnen afvragen of met de formule uit het examen voor de deBroglie golffunctie de golflente buiten de barriere wordt berekend, of de indringdiepte o.i.d. binnen de barriere (ik praat liever niet over golflengte in de barriere omdat de golffie in de barriere een afvallende exponent is en geen sinusoide). In de formule van het examen komt de temperatuur voor. Hoge T betekent hoge kinetische energie. Dus heeft volgens de formule een deeltje met een hoge energie een kleine golflengte. Dat klopt wel met de golflengte buiten de barriere, maar niet met de indringdiepte in de barriere. Het moet dus wel om de golflengte buiten de barriere gaan.

Uit mijn redenering volgt niet dat bij dikkere barriere de tunnelkans groter wordt. Alleen dat bij gelijke barriere dikte en hoogte de tunnelkans toeneemt als de golflengte buiten de barriere afneemt.

En inderdaad, als de massa groter wordt, neemt de indringdiepte af, dus wordt de tunnelkans kleiner. 

Al met al is vraag 9 wat  mij betreft natuurkundig helemaal fout. En het inzicht dat bij vraag 12 gevraagd is (dat voor het tunneleffect de T laag genoeg moet zijn) kunnen leerlingen alleen beredeneren door gebruik van de stap dat bij lage T de golflengte groot is en de tunnelkans 'dus' groot is. Maar ja, die laatste denkstap is fout, dus ook vraag 12 is voor leerlingen niet te beantwoorden. 

Er is een disrepantie tussen de tekst in het examen bij vraag 9 en 10 en tussen vraag 9 in het examen en het correctiemodel. In de tekst voor vraag 9 staat dat er een waterstofatoom verhuist. In het correctiemodel wordt gerekend met de een massa van een proton. Het zou dan netter zijn als er iets over atoommassa zou staan oid. Voor het antwoord op zich maakt het niet uit, want de  extra massa van een waterstofatoom is zo klein dat je er binnen de significantie van deze opgave net niets van merkt.

Toch wel jammer is dat er bij vraag 10 vervolgens staat het om deuterimkernen gaat. Dat zouden dan toch ook deuteriumatomen moeten zijn? Een goede leerling gaat hier over twijfelen, zonde van de tijd.

Lukey,

De berekeningen wil ik zelf ook nog eens goed doen, maar ik vond hier een plaatje van de tunnel kans als functie van a/\lambda (figuur 13). (transmissie-coefficienten uitrekenen is alweer een tijdje terug :-))

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/Quantum/node48.html

Te zien is dat als a/ \lambda klein is, en dus \lambda groot t.o.v. a de tunnel kans groter is. Als nu de massa groter wordt, of de temperatuur wordt groter, wordt de golflengte kleiner wat de tunnelkans kleiner maakt. 

Kortom, volgens toont dit aan dat antwoorden op de vragen 9, 10 en 12 correct zijn weergegeven in het correctievoorschrift.